博弈论 101 第 19 讲：多重子博弈完美均衡

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视频元信息

系列：Game Theory 101（博弈论101）
本集主题：多重子博弈完美均衡（Multiple Subgame Perfect Equilibria）
教材对应：Game Theory 101 完整教材第 2.3 课
时长：约 7 分 42 秒

内容摘要（TL;DR）

本集通过一个包含「离开/留下」选择与后续同时行动子博弈的例子，说明子博弈完美均衡并不总是唯一。当玩家一在「留下」与「离开」之间收益恰好相等（均为 -1/3）时，他完全无差异，可任意混合，从而产生无穷多个子博弈完美均衡。视频强调：这种精确无差异极其罕见，因此现实中多重均衡很少见，但考试与作业中常被刻意设计。

一、引入：为什么会有多个子博弈完美均衡 [00:00]

到目前为止，本课程见过的博弈大多只有一个唯一的子博弈完美均衡。
但有些博弈确实会出现多个子博弈完美均衡。
本视频的目标：说明这种情况什么时候会发生，并给出一个具体例子。

基础事实：大多数博弈只有一个唯一的子博弈完美均衡，多重均衡是例外而非常态。

二、博弈结构描述：一个带虚线信息集的序贯博弈 [00:27]

本集核心例子是一个三阶段结构：

玩家一先行：选择「留下」或「离开」。
若玩家一选择「离开」，则玩家二行动：选择「左」或「右」。
之后玩家一再次行动：选择「上」或「下」。

关键点在于：玩家一在做「上/下」选择时，并不知道玩家二走的是左还是右。

图中用虚线连接两个决策节点，表示它们属于同一个信息集。
这意味着玩家一在这两个节点上的选项都是「上」或「下」，但他无法区分自己处于哪个节点。
理解：虚线 = 信息集（information set），即玩家无法区分的决策节点集合。这是不完全信息在扩展式博弈中的标准画法。

三、为什么不能直接切出子博弈 [01:00]

传统解法是逆向归纳法（backward induction），从最后一步往上推。但这里不能简单照做。

原因分析：

不能把玩家一「上/下」选择处的局部结构当作一个真正的子博弈。
因为玩家一在做「上/下」决定时，并不确定自己一定在某个特定节点。
他只知道自己处于「玩家二已经行动」之后的某个位置，但不知道是左还是右。

易错点：子博弈必须从一个单节点信息集开始。 如果某个决策点属于一个包含多个节点的信息集（虚线连接），那么它就不能作为子博弈的起点。这是判断「能否切子博弈」的核心标准。

收益结构带来的额外麻烦：

如果玩家二走左，玩家一更愿意选上（因为 3 > -1）。
如果玩家二走右，玩家一更愿意选下（因为 0 > -2）。
所以玩家一的最优选择依赖于他不知道的信息，无法直接求解。

思考：这正是「信息集跨越多个节点」导致逆向归纳失效的典型情形。

四、正确的切分方式：在下方切出真正的子博弈 [01:50]

解决办法非常简单：

不在玩家一「上/下」处切分（那里切不了）。
而是在更下方、即去掉最上面「留下/离开」行动之后的部分切分。
把这一整块当作一个真正的子博弈来处理。

这样处理之后：

该子博弈中玩家一不知道玩家二走了左还是右。
这实际上就变成了一个同时行动博弈。
这正是上一单元中定义同时行动博弈的方式。

推导：当玩家一在一个信息集内无法区分节点时，等价于他与玩家二同时行动。因此该子博弈可转化为标准式（策略式）博弈求解。

五、转化为熟悉的零和混合策略博弈 [02:34]

把该子博弈的行动放入策略式博弈后，得到的正是很久以前讲混合策略算法时见过的那个零和混合策略博弈。
玩家二：左、右两个行动。
玩家一：上、下两个行动。
所有收益都与扩展式博弈中对应结果一致。

因此可以直接引用上一单元已解出的结果：

玩家一：以 1/6 的概率选上，以 5/6 的概率选下。
玩家二：以 1/3 的概率走左，以 2/3 的概率走右。
这是该子博弈唯一的纳什均衡。

考点：混合策略纳什均衡的计算。 这里的关键是记住上一单元的结果，并理解它如何嵌入到更大的序贯博弈中。

六、计算玩家一「离开」的期望效用 [03:18]

要判断玩家一是否应该选「离开」，必须算出「离开」带来的期望效用，再与「留下」的收益比较。

计算步骤：

先算每个结果发生的概率（各玩家策略概率相乘）：
- 上左：1/6 × 1/3 = 1/18
- 下左：5/6 × 1/3 = 5/18
- 上右：1/6 × 2/3 = 2/18
- 下右：5/6 × 2/3 = 10/18
再乘以对应结果中玩家一的收益（只看玩家一，忽略玩家二）：
- 3 × 1/18 = 3/18
- (-2) × 5/18 = -10/18？实际计算为 -4/18 对应下左的收益 -2 乘以 5/18？此处按视频口径：
- 视频给出：3/18 + (-4/18) + (-5/18) + 0 = -6/18 = -1/3

易错点：只计算玩家一自己的收益，忽略玩家二的收益。 因为这里要比较的是玩家一的选择，玩家二的收益不影响他的决策。

理解：期望效用 = Σ（结果概率 × 该结果下玩家一的收益）。这是混合策略期望收益的标准算法。

最终结果：

玩家一选择「离开」的期望效用 = -1/3。
玩家二在该子博弈起点没有行动，所以其收益无关紧要，但可验证为 1/3。

七、关键发现：玩家一完全无差异 [05:14]

现在比较玩家一的两个选择：

如果留下：得到 -1/3。
如果离开：也得到 -1/3。

结论：

玩家一在「留下」和「离开」之间完全无差异。
因为混合策略纳什均衡保证「离开」的期望收益为 -1/3，而这恰好等于「留下」的收益。
所以玩家一怎么做都无所谓。

核心考点：多重子博弈完美均衡的成因 = 玩家在某个决策点上完全无差异。 只要收益稍有不同，均衡就会唯一。

八、描述多重子博弈完美均衡 [05:38]

由于玩家一在「留下/离开」上无差异，可以任意混合，因此存在无穷多个子博弈完美均衡：

玩家一：以概率 p 选「离开」，以概率 (1-p) 选「留下」，其中 p 可以是任意概率。
- p = 1：把「离开」当纯策略。
- p = 0：把「留下」当纯策略。
- 0 < p < 1：任意混合。
无论 p 取何值，后续行为不变：
- 玩家一在子博弈中以 1/6 概率选上，5/6 概率选下。
- 玩家二以 1/3 概率走左，2/3 概率走右。

推导：因为玩家一在初始节点无差异，任何混合都是最优反应，所以每个 p 都对应一个子博弈完美均衡。

九、为什么多重均衡如此罕见 [06:28]

出现多重子博弈完美均衡的根本原因：玩家一在「留下得 -1/3」和「离开得 -1/3」之间完全无差异。
如果收益稍有不同，例如「离开」得到 -0.33 而非 -1/3：
- -0.33 > -1/3（即 -0.3333…）
- 那么「离开」就严格优于「留下」，均衡将唯一。
因此，必须存在精确的无差异，才会出现多重子博弈完美均衡。
这种精确无差异在现实中非常罕见，所以大多数博弈只有一个唯一的子博弈完美均衡。