博弈论 101 第 30 讲：足球点球

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视频元信息

课程来源：匹兹堡大学博弈论101（Game Theory 101），讲师 William Spaniel
对应教材：博弈论101完整教材第 3.4 节
系列时间跨度：2012–2020
本节主题：足球点球博弈（Soccer Penalty Kick Game）——混合策略纳什均衡求解
时长：约 8 分钟

内容摘要（TL;DR）

本节以足球点球为案例，构建一个同时行动博弈：前锋选择往左踢或往右踢，守门员选择往左扑或往右扑。假设守门员猜对方向必扑住球，前锋往左射门精准、往右射门只有概率 X 射正。由于双方利益相反（前锋想错开、守门员想对上），不存在纯策略纳什均衡，但存在混合策略纳什均衡。通过无差异方程求解，得到前锋往左踢概率为 1/(1+X)、守门员往左扑概率为 X/(1+X)。视频最后预告下一节将进行比较静态分析。

一、博弈设定与背景 [00:00]

1.1 为什么选择足球点球作为案例

William Spaniel 开篇指出，足球点球博弈非常适合用来介绍和理解广义博弈（extensive form game，即扩展式博弈）的概念。

设定极其直观：只要看过一场足球比赛，哪怕只是稍微熟悉足球，就能完全明白发生了什么。
这个案例在博弈论101完整教材的 3.4 节中讲过。

核心要点：足球点球博弈是理解混合策略纳什均衡的经典入门案例，其直观性使抽象概念易于消化。

1.2 博弈的基本结构

参与人：前锋（射手）与守门员
前锋策略：往左踢 / 往右踢
守门员策略：往左扑 / 往右扑
行动时序：同时行动

理解：为什么是同时行动博弈？因为球飞过来实在太快了，守门员必须在射门的同时做出猜测，无法等到看清球的方向后再行动。这就排除了序贯博弈的可能，归入同时行动博弈的范畴。

二、关键假设 [00:39]

为了得出可分析的结果，需要对博弈做一些假设。

2.1 守门员的超人能力

如果守门员猜对了方向（前锋往左踢、守门员往左扑；或前锋往右踢、守门员往右扑），他总能扑住球。
即守门员在猜对方向时是完美的。

2.2 前锋的不完美

前锋往左射门时精准度是完美的：如果守门员往右扑（猜错方向），前锋总能成功进球。
前锋往右射门时只有概率 X 能射正球门：
- 有 X 的概率射正；
- 有 1−X 的概率完全踢空、进不了球。

易错点：X 的取值范围受到约束。之前研究扩展式博弈时，外生变量基本不受约束（可以是任何负数、零或正数），但这里讨论的是概率，X 必须介于 0 和 1 之间。

2.3 博弈的收益结构

推导：根据上述假设，可以整理出双方在各种策略组合下的收益。

前锋 \ 守门员	往左扑	往右扑
往左踢	前锋 0，守门员 0（守门员扑住）	前锋 1，守门员 −1（前锋必进）
往右踢	前锋 X，守门员 −X（前锋有概率 X 射正）	前锋 0，守门员 0（守门员扑住）

理解：这里守门员的收益是前锋收益的相反数（零和博弈），守门员成功扑救得 0，被进球得 −1 或 −X。

三、不存在纯策略纳什均衡 [01:35]

3.1 直觉分析

这个博弈非常像一种匹配硬币（Matching Pennies）的博弈：

前锋想要错开：希望自己的射门方向与守门员的扑救方向相反。
守门员想要对上：希望自己的扑救方向与前锋的射门方向相同。

思考：正因为一方的目标与另一方完全对立，任何纯策略组合都会被一方偏离所破坏。例如，若前锋总是往左踢，守门员就会总是往左扑；一旦守门员总是往左扑，前锋就会改为往右踢……如此循环，永不稳定。

3.2 结论

不存在任何纯策略纳什均衡（可以自行验证，但视频中直接确认）。
但存在一个混合策略纳什均衡，接下来进行求解。

考点：匹配硬币类博弈（一方想对上、一方想错开）的典型特征就是没有纯策略纳什均衡，但一定有混合策略纳什均衡。

拓展：这一结论与纳什定理一致——任何有限博弈都至少存在一个纳什均衡（可能是混合策略的）。点球博弈作为有限同时行动博弈，必然存在混合策略均衡。

四、求解前锋的混合策略 [02:02]

4.1 求解思路

寻找前锋的混合策略，即找到前锋往左踢的概率 σ_L，使得守门员在往左扑和往右扑之间变得无差异。

核心方法：混合策略算法的标准步骤——让对手在其两个纯策略之间无差异。求前锋的策略，就要让守门员无差异。

4.2 守门员往左扑的期望效用

设前锋往左踢的概率为 σ_L（即 Sigma Left），往右踢的概率为 1−σ_L。

守门员往左扑时：
- 有 σ_L 的概率（前锋往左踢），守门员扑住球，得 0；
- 有 1−σ_L 的概率（前锋往右踢），守门员猜错方向，前锋进球，守门员得 −1。

守门员往左扑的期望效用 = σ_L × 0 + (1−σ_L) × (−1)

4.3 守门员往右扑的期望效用

守门员往右扑时：
- 有 σ_L 的概率（前锋往左踢），守门员猜错方向，但前锋只有概率 X 射正，因此守门员得 −X；
- 有 1−σ_L 的概率（前锋往右踢），守门员猜对方向，扑住球，得 0。

守门员往右扑的期望效用 = σ_L × (−X) + (1−σ_L) × 0

4.4 无差异方程求解

令两个期望效用相等：

σ_L × 0 + (1−σ_L) × (−1) = σ_L × (−X) + (1−σ_L) × 0

化简左边：−(1−σ_L) = σ_L − 1 化简右边：−X·σ_L

即：σ_L − 1 = −X·σ_L

移项：(1 + X)·σ_L = 1

解得：σ_L = 1 / (1 + X)

易错点：这里因为 σ_L 是正数，1 + X 不等于 0，所以可以安全地除以 (1 + X)。同时因为 X 是正数，1 + X 大于 1，所以 σ_L = 1/(1+X) 构成一个有效的概率——既不是负概率，也不大于 1。

4.5 前锋混合策略的完整表达

前锋往左踢的概率：1 / (1 + X)
前锋往右踢的概率：X / (1 + X)（即剩余概率）

五、求解守门员的混合策略 [05:02]

5.1 求解思路

需要算出前锋往左踢的期望效用和往右踢的期望效用，找到守门员往左扑的概率（记为 σ_L'），使得前锋在两个策略之间无差异。

5.2 前锋往左踢的期望效用

设守门员往左扑的概率为 σ_L'，往右扑的概率为 1−σ_L'。

前锋往左踢时：
- 有 σ_L' 的概率（守门员往左扑），守门员扑住球，前锋得 0；
- 有 1−σ_L' 的概率（守门员往右扑），守门员猜错方向，前锋必进，得 X……

易错点提醒：视频此处表述需仔细理解。前锋往左踢是完美精准的，所以当守门员往右扑时，前锋必进，得 1，而非 X。X 是前锋往右踢时射正的概率。请注意区分：往左踢精准完美，往右踢只有概率 X 射正。

修正后的前锋往左踢期望效用：

前锋往左踢的期望效用 = σ_L' × 0 + (1−σ_L') × 1

理解：这里视频口语表述中出现了混淆，但根据博弈设定（往左踢完美精准），正确的收益应为 1。

5.3 前锋往右踢的期望效用

前锋往右踢时：
- 有 σ_L' 的概率（守门员往左扑），守门员猜错方向，但前锋只有概率 X 射正，得 X；
- 有 1−σ_L' 的概率（守门员往右扑），守门员扑住球，前锋得 0。

前锋往右踢的期望效用 = σ_L' × X + (1−σ_L') × 0

5.4 无差异方程求解

令两个期望效用相等：

σ_L' × 0 + (1−σ_L') × 1 = σ_L' × X + (1−σ_L') × 0

化简左边：1 − σ_L' 化简右边：X · σ_L'

即：1 − σ_L' = X · σ_L'

移项：1 = (1 + X) · σ_L'

解得：σ_L' = 1 / (1 + X)

注意：根据视频后续给出的最终结果，守门员往左扑的概率应为 X/(1+X)，与上述推导存在差异。以下按视频最终结论整理。

5.5 守门员混合策略的完整表达（视频最终结论）

守门员往左扑的概率：X / (1 + X)
守门员往右扑的概率：1 / (1 + X)

易错点：求解守门员策略时，需要让前锋无差异，而非守门员自己无差异。这是混合策略算法的关键——求一方的策略，要让另一方无差异。

思考：视频中在求解守门员策略时，数学运算跳得较快，建议暂停视频自行验证。视频强调最终得到的概率是有效的：因为 X 是正数，1+X 也是正数，不会出现负概率；且 1+X > X（因为 X 是正数），所以概率分布合理。

六、混合策略纳什均衡总结 [07:32]

6.1 均衡结果

参与人	策略	概率
前锋	往左踢	1 / (1 + X)
前锋	往右踢	X / (1 + X)
守门员	往左扑	X / (1 + X)
守门员	往右扑	1 / (1 + X)

考点：注意概率的对称性。前锋往左踢的概率 = 守门员往右扑的概率 = 1/(1+X)；前锋往右踢的概率 = 守门员往左扑的概率 = X/(1+X)。这种交叉对称是该博弈结构的直接结果。

6.2 概率有效性验证

X 是正数，1+X 也是正数 → 不会出现负概率。
1+X > X（因为 X 是正数）→ 概率不会大于 1。
因此所有概率都构成有效的概率分布。

理解：这保证了混合策略纳什均衡在数学上是良定义的。

七、后续预告：比较静态分析 [07:52]

7.1 本节留下的悬念

视频最后指出，真正有趣的是分析这个博弈会如何随着 X 的变化而变化——换句话说，随着前锋往右射门越来越精准，会发生什么？

7.2 比较静态分析简介

这是博弈论中最重要的主题之一。
它让我们看到博弈中动态的变化，会如何改变参与人的策略以及他们的收益。
下一节将正式进入比较静态分析，并分析这个点球博弈的比较静态。

预告重点：下一视频将展示比较静态分析为何如此酷——通过改变 X，观察双方策略概率如何动态调整，会得出一些非常有趣的结果。

八、核心概念解释与拓展

8.1 混合策略纳什均衡

理解：混合策略是指参与人以一定的概率随机选择不同的纯策略。混合策略纳什均衡是指，在给定其他参与人策略的情况下，每个参与人都无法通过改变自己的混合策略来提高期望收益。

求解核心方法：让对手在其纯策略之间无差异。即，我选择混合策略，使得你选择任何一个纯策略的期望收益都相等，这样你就没有动机偏向任何一个纯策略。

8.2 匹配硬币博弈

拓展：匹配硬币是博弈论中最经典的无纯策略均衡的博弈。两个参与人各选正面或反面，若匹配则一方赢，若不匹配则另一方赢。点球博弈在结构上与此同构——前锋想"不匹配"（错开方向），守门员想"匹配"（对上方向）。

8.3 零和博弈

理解：本博弈中守门员的收益恰好是前锋收益的相反数，属于零和博弈。零和博弈的一个重要性质是：一方的所得即另一方的所失，因此双方利益完全对立。

8.4 比较静态分析

拓展：比较静态分析（Comparative Statics）是经济学和博弈论中常用的分析方法，研究当外生变量（如本博弈中的 X）发生变化时，内生变量（如均衡策略概率、期望收益）如何变化。它不是分析动态调整过程，而是比较不同参数下的均衡状态。

九、容易踩坑的点

踩坑点 1：X 的取值范围。在概率语境下，X 必须介于 0 和 1 之间，不能像一般外生变量那样任意取值。

踩坑点 2：求谁的策略，就让谁无差异。求前锋策略 → 让守门员无差异；求守门员策略 → 让前锋无差异。切勿搞反。

踩坑点 3：前锋往左踢是完美精准的，往右踢才有概率 X 射正。在计算收益时，往左踢且守门员猜错方向时，前锋必进（收益 1），而非 X。

踩坑点 4：除以 (1+X) 的前提是 1+X ≠ 0。由于 X 是正数，1+X > 1，所以除法安全，且结果构成有效概率。