博弈论 101 第 38 讲：改版石头剪刀布

视频封面

视频元信息

标题：修改版石头剪刀布游戏（Rock-Paper-Scissors 变体）——均衡结构的排除法分析
讲师：William Spaniel（匹兹堡大学）
系列：博弈论101 完整教材，对应第3课与第6课内容
时长：约7分钟（本片段）
主题定位：本视频是"解出修改版石头剪刀布均衡"的上半部分，只做均衡结构的排除，不求出具体混合比例；具体比例留到下一视频。

内容摘要（TL;DR）

本视频分析一个被改动收益的石头剪刀布游戏：用布获胜收益从1美元升为2美元，用石头落败亏损从1美元升为2美元。讲师用"有限双人对称零和博弈中每个均衡双方期望效用必为0"这一定理，逐一排除纯策略均衡与恰好混合两个纯策略的均衡，从而证明均衡必然是三策略全混合。具体混合比例留待下一视频求解。

一、回顾：普通石头剪刀布的均衡为什么能"猜"出来 [00:13]

之前几个视频研究的是普通石头剪刀布。
方法：只需思考"最佳应对"如何运作，就能推断（猜）出混合策略。
结论：玩家应在三种策略之间完全随机化——出石头、布、剪刀的概率各为 1/3。

理解：普通石头剪刀布之所以能"凭直觉猜"，是因为它的收益结构完全对称，三种策略互为循环克制，没有任何一种策略在结构上占优。

二、收益被改动后，直觉失效 [00:34]

讲师回顾了之前做过的修改：改动"用布获胜"和"用石头落败"的收益。

改动内容（对比普通版）：

结果	普通版收益	修改版收益
用布获胜	+1 美元	+2 美元
用石头落败	−1 美元	−2 美元
其余四种结果	±1 美元	不变（±1 美元）

重点： 用布获胜的收益翻倍（+2），用石头落败的亏损翻倍（−2）。
结果：游戏的激励结构（incentive structure） 被改变了。
玩家会特别想用布获胜，而石头看起来变得很糟糕——因为一旦用石头落败，相比其他结果会损失更多分数或金钱。

结论：不能再靠直觉猜出这个游戏的均衡，必须用系统方法求解。

三、求解思路总纲：均衡中玩家策略的三种可能 [01:19]

3.1 先确认均衡一定存在

这是一个有限博弈（finite game）：
- 只有 2 个玩家（玩家数量有限）；
- 每个玩家只有 3 个纯策略（石头、布、剪刀），纯策略数量有限。
考点： 由纳什定理，所有有限博弈都一定有纳什均衡。
因此这个修改版石头剪刀布必定有均衡，问题只是"它长什么样"。

3.2 均衡中玩家1策略的三种可能形态

在任何均衡中，玩家1的策略必居其一：

采用纯策略（只玩某一个纯策略）；
恰好混合两个纯策略（在两个纯策略之间随机化，第三个概率为0）；
在三个纯策略之间混合（三个概率都为正）。

玩家2同理，也有这三种可能。

3.3 本视频与下一视频的分工

本视频：检查前两种情况——纯策略、恰好混合两个纯策略。
下一视频：处理第三种情况——三策略全混合，并求出确切的混合比例。

思考：这是一种典型的"排除法"求解思路。先穷举所有结构可能性，再用定理逐一淘汰，最后剩下的就是答案的形态。

四、第一步：排除纯策略纳什均衡 [02:44]

问题：这个游戏里存在让玩家采用纯策略的纳什均衡吗？
答案：不存在。
验证方法（非常简单）：标出游戏中的最佳应对（best response）。

原理：

博弈的激励结构还是老样子——你想采用那个能克制对手策略的特定策略（石头克剪刀、剪刀克布、布克石头）。
因此不存在任何稳定的纯策略纳什均衡（即双方都采用同一策略、且都知道对方也采用该策略的状态）。

判断标准：

查看最佳应对标记，会发现没有任何一个结果在双方玩家的收益上都带有星号（即没有任何格子是双方同时的最佳应对）。
易错点： 纯策略纳什均衡要求该格子在双方的收益上都是最佳应对（双星号），只看一方是不够的。

结论： 玩家1不可能在纳什均衡中采用纯策略。

五、第二步：排除"恰好混合两个纯策略"的均衡 [03:43]

既然纯策略被排除，只剩两种可能：混合两个纯策略，或混合三个纯策略。本节逐一检查"混合两个纯策略"的所有三种组合。

5.1 核心工具：零和博弈均衡效用定理

关键定理： 对于任何有限的双人对称零和博弈，在该游戏的任何纳什均衡中，双方的期望效用都必须为 0。

推导：零和博弈中一方所得即另一方所失，总收益恒为0；对称性又使得双方在均衡中的地位对等，因此均衡期望收益只能各为0。

本节所有排除论证都依赖这条定理：只要能证明"某一方在均衡中能获得严格正的收益"，就与该定理矛盾，从而排除该情况。

5.2 情况一：玩家1只在【石头】和【布】之间混合

玩家1以正概率出石头、以正概率出布。
玩家2可以采用布作为纯策略，获得严格正的收益：
- 玩家1出石头时，玩家2出布拿到 +2（布克石头）；
- 玩家1出布时，玩家2出布拿到 0（平局）；
- 两者混合后是严格正的数额。
玩家2的最佳应对可能是布，也可能是剪刀（如果玩家1非常依赖布，玩家2改出剪刀更划算，虽然偶尔会输−1，但大多数时候能拿+1），但这不重要。
关键推论： 既然"出布"能带来严格正的数额，那么最佳应对也一定能带来正的数额（最佳应对只会更好）。
于是玩家2的最佳应对收益 > 0，意味着玩家1的均衡收益 < 0，违反零和定理。

结论：玩家1不能只在石头和布之间混合。

5.3 情况二：玩家1只在【石头】和【剪刀】之间混合

玩家1以正概率出石头、以正概率出剪刀，从不出布。
玩家2可以采用石头作为纯策略，获得严格正的收益：
- 玩家1出石头时，玩家2出石头拿到 0（平局）；
- 玩家1出剪刀时，玩家2出石头拿到 +1（石头克剪刀）；
- 组合起来是严格正的数额。
同样，玩家2的最佳应对可能是石头，也可能是布（如果玩家1非常频繁出石头，玩家2宁可改出布，因为+2很大，可以接受偶尔输掉的后果），但这不影响结论。
关键推论： 石头能保证正的收益，所以无论玩家1的确切混合比例是什么，玩家2的最佳应对都带来严格正的收益。

结论：这不可能是一个玩家1在石头和剪刀之间混合的均衡。

5.4 情况三：玩家1只在【布】和【剪刀】之间混合

玩家1以正概率出布、以正概率出剪刀，从不玩石头。
玩家2可以采用剪刀作为纯策略，获得严格正的收益：
- 玩家1出布时，玩家2出剪刀拿到 +1（剪刀克布）；
- 玩家1出剪刀时，玩家2出剪刀拿到 0（平局）；
- 组合起来是严格正的数额。
同样，这未必是玩家2的最佳应对——如果玩家1有 99.99% 的时间在出剪刀，玩家2宁可改出石头，接受偶尔在玩家1出布时输掉一点，只要大多数时候能赢。
关键推论： 玩家2通过出剪刀（纯策略）就能拿到严格正的收益，所以无论最佳应对是什么，玩家2都会拿到正的收益。

结论：玩家1不能在布和剪刀之间混合。

5.5 玩家2同理，且论证完全对称

对玩家2做同样的流程：考虑玩家2在两个纯策略之间混合的所有组合，做同样的论证。
如果玩家2恰好混合两个纯策略，那么玩家1就有一个能保证获得严格正收益的策略，这在均衡中同样不可能发生。
讲师说明： 这部分论证有点冗余，因为它与刚才对玩家1做的流程完全一样，所以视频中不再重复演示。

六、结论：均衡必然是三策略全混合 [06:20]

综合以上排除，逻辑链条如下：

该游戏是有限博弈 → 均衡一定存在；
均衡中不存在纯策略（第四节已排除）；
均衡中不存在"恰好混合两个纯策略"（第五节已排除，玩家1、玩家2均适用）；
三种可能只剩一种 → 玩家必然在三个纯策略之间混合。

考点小结： 本视频没有求出具体混合比例，只确定了均衡的结构形态——双方都在石头、布、剪刀三个策略上以正概率随机化。

七、拓展与补充

【拓展】零和博弈均衡效用为0的直观理解

零和博弈中，玩家1的收益 = −（玩家2的收益）。若均衡中玩家1的期望收益为 u，玩家2为 −u。由于博弈对称，双方在均衡中的处境互换后应得到相同结论，因此 u = −u，即 u = 0。这条定理是本节所有排除论证的"标尺"。

【拓展】为什么"能保证严格正收益"就足以排除均衡

均衡要求每个玩家都在给定对方策略下做最佳应对。如果玩家2有一个无论玩家1怎么混合都能拿正收益的策略，那么玩家2的最佳应对收益必然为正，玩家1的收益必然为负。而零和定理要求均衡收益为0，矛盾。注意：不需要找出玩家2真正的最佳应对是什么，只要找到一个"保底正收益"的策略就够了——这是本视频论证最巧妙的地方。