博弈论 101 第 14 讲（英文原声）：Infinitely Many Equilibria

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视频元信息

课程定位：对应《Game Theory 101》教材第 1.8 课
主讲人：William Spaniel
主题：无限多个均衡（Infinitely Many Equilibria）与部分混合策略纳什均衡
时长：约 4 分 39 秒（278.5s 结束）

内容摘要（TL;DR）

本节用一个小型 2×2 博弈说明：当某玩家存在严格占优策略、且其选择使对手在两种策略间无差异时，会出现无限多个部分混合策略纳什均衡。玩家 2 始终选 Left，玩家 1 以任意概率 P 混合 Up/Down 都是均衡。视频最后预告：几乎所有博弈的均衡数量都是奇数，这并非巧合。

一、课程引入与游戏设定 [00:01]

主讲人开场：我是 William Spaniel，今天学习博弈论。
本课主题：无限多个均衡（infinitely many equilibria）。
内容对应教材 Game Theory 101 第 1.8 课，完整教材信息见视频简介。

本课的核心不是"求解某个均衡"，而是识别一类会产生无穷多均衡的特殊结构，这是后续理解"均衡数量为奇数"定理的铺垫。

理解：这一节属于博弈论入门中的"均衡计数"问题，从有限个均衡过渡到无限个均衡，是为下一课"奇数均衡定理"（Oddness Theorem）做反例准备。

二、博弈结构与严格占优策略 [00:14]

视频给出的博弈：两名玩家，各有两个策略。

玩家 1：Up / Down
玩家 2：Left / Right

玩家 2 拥有严格被占优策略（strictly dominated strategy）：Right 被 Left 严格占优。

验证过程（对玩家 2 而言，比较 Left 与 Right 的收益）：

玩家 1 的选择	玩家 2 选 Left	玩家 2 选 Right	比较结果
Up	1	0	Left 更好（1 > 0）
Down	−2	−5	Left 更好（−2 > −5）

无论玩家 1 选 Up 还是 Down，玩家 2 选 Left 的收益都严格高于选 Right。
因此 Right 是严格被占优策略，玩家 2 永远不应选择 Right，Left 是她的严格占优策略。

易错点：严格占优 vs 严格被占优

严格占优策略（strictly dominant strategy）：无论对手怎么选，该策略收益都严格最高。

严格被占优策略（strictly dominated strategy）：存在另一策略，无论对手怎么选，收益都严格更高。

两者是同一枚硬币的两面：Left 是严格占优，Right 就是严格被占优。

理解：这里用"逐格比较"的方式验证占优关系，是博弈论中最基础的操作。注意比较的是同一玩家在不同策略下的收益，而不是不同玩家之间的收益。

三、迭代剔除严格被占优策略 [00:46]

既然 Right 严格被占优，就把它剔除，博弈简化为只剩 Left 的"2×1"残局。
这一过程称为迭代剔除严格被占优策略（iterated elimination of strictly dominated strategies）。

关键观察：当玩家 2 选 Left 时，玩家 1 在 Up 与 Down 之间"无差异"（indifferent）。

因为无论玩家 1 选 Up 还是 Down，他都得到收益 3。
只要玩家 2 以纯策略选 Left，玩家 1 就不在乎自己选 Up 还是 Down。
他无法通过改变策略获得更高收益（不能"有利可图地偏离"，no profitable deviation）。

核心概念：无差异（indifference） 当一名玩家在多个策略间收益完全相同，他就"无差异"。无差异是产生混合策略均衡的关键条件——因为玩家无法通过偏离获利，所以他可以任意混合。

思考：无差异意味着该玩家对策略选择"无所谓"，这既可能带来均衡的多样性（无穷多均衡），也可能带来均衡的脆弱性（均衡对收益微小变化敏感）。

四、两个纯策略纳什均衡 [01:14]

由上述结构，得到两个纯策略纳什均衡（pure strategy Nash equilibrium）：

均衡一：(Up, Left)

玩家 2 不愿偏离到 Right——Right 是严格被占优策略。
玩家 1 不愿偏离到 Down——因为收益仍是 3，没有改善。

均衡二：(Down, Left)

玩家 2 选 Left 时，玩家 1 从 Down 换到 Up 也无利可图——收益仍是 3。
玩家 2 同样不愿切换到 Right——Right 严格被占优，Left 下的 −2 优于选 Right 的收益。

考点：验证纳什均衡的标准方法 对每个均衡候选，逐一检查每位玩家是否愿意单方面偏离。若无人能通过单方面改变策略提高收益，则该策略组合是纳什均衡。这里两个均衡都满足：玩家 2 因占优关系不偏离，玩家 1 因无差异不偏离。

五、无限多个部分混合策略纳什均衡 [01:48]

视频指出"奇怪之处"：此博弈还存在无限多个部分混合策略均衡。

定义：部分混合策略纳什均衡（partially mixed strategy Nash equilibrium）

一名玩家使用纯策略；
另一名玩家使用混合策略。

本案例中的结构：

玩家 2 打纯策略：始终选 Left。
玩家 1 打混合策略：以概率 P 选 Up，以概率 1 − P 选 Down。
任意 P 值都构成均衡。

为什么任意 P 都成立？

玩家 2 永远不会想从 Left 切换到 Right——因为 Right 是严格被占优策略。
玩家 1 始终获得收益 3，无论他怎么混合——他无法通过偏离获利。
因此玩家 1 可以"自由地"以任意方式混合。

为什么是"无限多个"？

P 可以是 1/2、1/3、2/5、67%……任何值。
因为 0 到 1 之间有无限多个实数，所以这个博弈有无限多个均衡。

易错点：P 的取值边界 P 在闭区间 [0, 1] 内取值。当 P = 1 时退化为纯策略 (Up, Left)，当 P = 0 时退化为纯策略 (Down, Left)。因此这两个纯策略均衡其实是无穷多均衡集合中的"端点特例"。这也是为什么视频说"两个纯策略均衡 + 无限多个部分混合均衡"。

推导：玩家 1 的期望收益 = P × 3 + (1 − P) × 3 = 3，与 P 无关。这正是"无差异"的数学表达——期望收益对混合概率不敏感，故任何 P 都是最优反应。

六、识别此类均衡的一般方法 [02:57]

视频给出可复用的判断法则：

当你在博弈中看到"一名玩家打纯策略，使另一名玩家无差异"时，必须检查是否存在另一玩家的混合策略，使前者愿意坚持该纯策略。

具体到本案例：

玩家 2 选 Left → 使玩家 1 在 Up 与 Down 之间无差异；
玩家 1 无论选 Up 还是 Down → 玩家 2 都永远不想切换到 Right；
于是形成部分混合策略纳什均衡。

考点：触发检查的信号 无论是原始博弈，还是迭代剔除严格被占优策略后的简化博弈，只要出现"一方纯策略导致另一方无差异"的结构，就要主动检查混合策略均衡，不要只满足于找出纯策略均衡。

思考：这类"无差异"结构在现实中有对应——例如当两种选择的预期收益完全相同时，人们可能随机化自己的行为（如随机选择通勤路线、随机选择产品品牌）。

七、练习与下节预告 [04:06]

练习：上一视频中讲过的"弱占优博弈（weak dominance game）"也存在类似的部分混合策略均衡，视频留作课后自行求解。
下节预告：将讨论博弈的均衡数量问题。
- 此前见过的博弈大多有奇数个均衡；
- 下一课将说明这并非巧合；
- 几乎所有博弈的均衡数量都是奇数。