博弈论 101 第 15 讲：奇数规则

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视频元信息

课程定位：博弈论101 完整教材第 1.8 节内容
本集主题：奇数规则（Oddness Rule）与免费金钱博弈（Free Money Game）
单元收尾：本视频为「同时行动博弈」单元最后一讲，下一单元进入序贯博弈

内容摘要（TL;DR）

几乎所有的博弈均衡数量都是奇数。若解出偶数个或无穷多个均衡，应回头检查是否算错。无穷多均衡通常源于弱被占优策略；本集用「免费金钱博弈」构造了一个恰好两个纯策略纳什均衡（赞成/赞成、反对/反对）的偶数均衡案例，并说明该博弈中玩家无法混合，故不存在更多均衡。

一、奇数规则（Oddness Rule）总览 [00:11]

考点：几乎所有的博弈，其纳什均衡数量都是奇数。

本节首先回顾此前学过的博弈，用来验证奇数规则：

囚徒困境：只有 1 个均衡（纯策略）。
纯策略的疲态应弊（纯策略版本）：也只有 1 个均衡。
在混合策略算法那一课中，上述两个博弈同样各只有 1 个均衡，且都是混合策略均衡。
性别之战：有 3 个均衡——2 个纯策略均衡 + 1 个混合策略均衡。

易错点：此前讲「列入博弈」（Entry Game）和「红御等博弈」（可能指协调类博弈）时，只讲了各自的 2 个纯策略均衡，并未讲全。 如果回去对这些博弈运行混合策略算法，会发现它们各自都还有一个混合策略纳什均衡，因此总共是 3 个均衡（2 纯 + 1 混合）。

理解：奇数规则是一条「检验工具」。当你求出偶数个均衡时，它提示你大概率漏算了一个混合策略均衡；当你求出无穷多个均衡时，它提示你存在弱被占优策略。

要点归纳：

均衡数量为奇数 → 正常。
均衡数量为无穷多 → 通常由弱被占优策略导致。
均衡数量为偶数 → 极罕见，需要特别解释（本集的免费金钱博弈就是这种极端情况）。

二、无穷多均衡与弱被占优策略 [01:03]

在前面两讲（弱被占优策略、无穷多均衡）的视频里，那两个博弈都有无穷多个均衡，而且它们都有一个弱被占优策略。

考点：正是弱被占优策略，导致了无穷多个均衡的存在。

推导：若某策略被弱占优，玩家在该策略与其他策略之间的选择不影响自身收益，于是可以构造出连续的一族均衡，均衡数量因此变为无穷多。

本集要填补的空白： 我们还没见过一个均衡数量恰好为偶数的博弈——既不是奇数，也不是无穷多，而是恰好偶数个均衡。

三、免费金钱博弈（Free Money Game）设定 [01:26]

博弈背景： 讲师给你和你最好的朋友提供一些免费的钱，条件是你们要通过一次投票通过一项决议。

博弈规则：

决议内容：「我们想要免费的钱」。
只要两人都投赞成票，两人各得 1 美元。
只要有一个人投反对票，两人都拿不到钱（各得 0）。
投票同时进行，且是盲投（彼此看不到对方的选择）。

收益矩阵（文字描述）：

玩家1 \ 玩家2	赞成	反对
赞成	(1, 1)	(0, 0)
反对	(0, 0)	(0, 0)

你可能会直觉认为唯一的均衡是两人都投赞成，但实际还存在另一个均衡——在那个均衡里，你们拿不到免费的钱。这是投票博弈里有点奇怪的地方：在投票博弈中，几乎任何可能的结果都能成为纳什均衡。

四、两个纯策略纳什均衡 [02:14]

均衡一：赞成 / 赞成

赞成、赞成是一个纯策略纳什均衡。

推导：只要两个玩家都能拿到东西（各得 1），他们就不会想偏离。事实上也无法有利可图地偏离去投反对——因为那意味着自己从得 1 变成得 0。

均衡二：反对 / 反对

考点：反对、反对也是一个纯策略纳什均衡。

回顾纳什均衡定义：一组策略，使得在给定其他玩家行为的情况下，没有任何玩家有有利可图的偏离。

推导（以玩家1视角）：假设玩家2投反对。如果你是玩家1：

改投赞成 → 仍然什么都拿不到（得 0）。
保持投反对 → 同样得 0。
两者结果完全一样，因此对玩家1来说不是有利可图的偏离。

同理（以玩家2视角）：只要玩家1投反对，玩家2也只能拿到 0；即使把票改成赞成，仍然拿到 0。因此对玩家2也不是有利可图的偏离。

结论：反对、反对也是纳什均衡。于是我们有了两个纯策略纳什均衡——这就是偶数个均衡。

五、为什么不存在混合策略均衡 [03:15]

要证明均衡数量恰好是 2（没有更多均衡），只需证明：在这个博弈里没有任何玩家愿意混合。

证明思路

假设玩家1在混合：他有某个百分比的时间投赞成，某个百分比的时间投反对。

现在考虑玩家2针对玩家1的混合策略构建最佳回应：

如果玩家2投反对 → 保证什么都拿不到（得 0）。
如果玩家2投赞成 → 在玩家1投反对的那些时间里得 0，但在玩家1投赞成的那些时间里能得 1。

推导：因为玩家1有某个正百分比的时间投赞成，所以玩家2投赞成时，在某些时候能拿到一笔正数的钱（1）；而投反对则保证什么都拿不到（0）。

关键结论：玩家2在回应玩家1的混合策略时，必须把赞成当作纯策略来选。

反向推理

但如果玩家2把赞成当作纯策略来选，那玩家1就不愿意在赞成和反对之间混合了。

推导：如果玩家1混合，就意味着他某个百分比的时间拿到 1、某个百分比的时间拿到 0；而他不喜欢拿到 0，他更愿意只都拿到 1（即改投赞成）。

因此在这个博弈里，双方都不能混合：

玩家1不能混合 → 因为那会让玩家2把赞成当纯策略选。
玩家2不能混合 → 因为那会让玩家1把赞成当纯策略选。

结论：没有其他纳什均衡，只剩两个——赞成/赞成均衡与反对/反对均衡。

六、根源：弱被占优策略 [05:04]

考点：这个博弈的问题出在弱被占优策略上。事实上两个玩家都有一个弱被占优策略。

对两个玩家来说：赞成弱占优反对。

推导：

当对方投赞成时：赞成回报更高（得 1 vs 得 0）。
当对方投反对时：赞成和反对的回报总是一样的（都得 0）。

思考：这正是「弱」占优的含义——在某些情况下严格更好，在另一些情况下无差异。弱占优策略的存在，是导致均衡数量异常（无穷多或偶数个）的共同根源。

七、奇数规则的实践应用要点 [05:24]

核心要点：如果你在解一个博弈时发现自己只有偶数个均衡，或者有无穷多个均衡，那就应该再检查一遍，确保自己没做错。

具体检查步骤：

看看那里是不是有一个弱被占优策略。
如果没有弱被占优策略，那就应该回去重新检查自己的解法。
尤其是当你得到偶数个均衡的时候——除非遇到像本集这种很极端的弱被占优策略情况，否则那意味着你很可能漏掉了另一个均衡。
漏掉的那个均衡很可能是一个混合策略均衡，所以如果还没做的话，最好对这个博弈运行一下混合策略算法。

易错点总结：

偶数均衡 ≠ 直接判定为错，要先排查是否存在弱被占优策略（如免费金钱博弈）。

无穷多均衡 → 几乎必然存在弱被占优策略。

偶数均衡且无弱被占优 → 大概率漏算了一个混合策略均衡，需重跑混合策略算法。

八、单元收尾与下集预告 [05:59]

本视频讲完了「奇数规则」以及「无穷多均衡与偶数个均衡」这个主题，也把整个「同时行动博弈」单元讲完了。

下一单元：序贯博弈（Sequential Games）

定义：玩家轮流行动的博弈。
特点：玩家能够提前战略性地思考接下来会发生什么，并让自己在终局中处于更有利的位置——通过在开局做出聪明的行动，在终局表现得更好。
下集内容：子博弈完美均衡（Subgame Perfect Equilibrium），它是序贯博弈最主要的均衡概念。

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【拓展】相关背景与延伸

【拓展】什么是纳什均衡？ 纳什均衡是博弈论中最核心的解概念：在一组策略组合中，给定其他所有玩家的策略不变，任何单个玩家都无法通过单方面改变自己的策略来获得更高收益。本集反复使用这一「无有利可图偏离」的判定标准来验证均衡。

【拓展】为什么「几乎」所有博弈均衡数量是奇数？ 严格来说，奇数规则并非数学定理，而是有限博弈中常见的经验规律。其背后与「混合策略均衡成对/成组出现」以及弱被占优策略导致的均衡退化有关。Wilson（1971）的奇数定理（Oddness Theorem）指出：对「几乎所有」有限博弈，纳什均衡的数量是有限的且为奇数。本集正是用这一直觉作为解题自检工具。

【拓展】弱占优 vs 严格占优